Плохое поведение в школе+врет

Сын пошел в первый класс (ему 6 лет, у нас обучение с 6). Школа, класс, учитель-все нравится. Ходит с удовольствием. Занимается неплохо.Но поведение в школе отвратительное: бегает, падает, толкается, катается на ногах по коридору, иногда дерется - вообщем отрывается по полной, при этом периодически создавая ситуации опасные для здоровья его и окружающих. При этом в действиях нет агрессии, это он играется так. Сегодня на уроке решил проверить, что пишет его друг (их рассадили в разные концы класса)и пошел смотреть в его тетрадь через весь класс. Ну так он захотел :( Учительница вернула на место. Через пять минут тоже самое с веселым смехом - опять пошел.
Добавлю сразу, что ребенок ходил в сад, ходил год на подготовишку в эту же школу, поэтому что такое школа и уроки представление он имеет.
Беседы о поведении в школе никакого результата не дали. Объясняла, просила, уговаривала, приводила примеры, угрожала - ничего не действует. Наказание в виде лишения телевизора и игровых приставок -тоже. При разговоре вроде бы все понимает, обещает вести себя спокойнее, слушаться учителя, но каждый день выкидывает какие-нибудь номера. Как мне донести до него, что в школе существуют правила поведения? Мальчик очень активный и я понимаю, что ему тяжело вести себя спокойно. Кроме того, мальчик со своим личным мнением по любому вопросу. После школы гуляем с ним, он много бегает, ходим три раза в неделю на тренировки, чтобы "выпустить" пар. Скажите, как справится с таким активным ребенком в школе? Из вашего опыта, что может подействовать в таком случае? Я зашла в педагогический тупик :(
И еще он начал врать: натворит что-нибудь в школе, учительница об этом расскажет после уроков, а он тут же говорит, что ничего этого не было. Вот так прямо смотря в глаза. Я понимаю, что это метод защиты от разбирательств с родителями. И очень этим расстроена, так как раньше такого не было.Что мне делать я не знаю. Это пройдет само? Сколько надо ждать? Прошу прощения, что сумбурно, но моя нервная система уже на пределе.