Раздел: Домашние задания (деление с нулями)

Отвечать в конференциях и заводить новые темы может любой участник, независимо от наличия регистрации на сайте 7я.ру.

Марии Д. - деление с нулем.

Здравствуйте, Мария! Нужна идея!:)
Проходим сейчас деление с нулем.
Дети не понимают, почему ноль делить на части можно, но делить на ноль нельзя.
Коллеги порекомендовали не заморачиваться, а представить это как аксиому. И, вообще, приучать детей не только к теоремам, но и к аксиомам.
Однако дети просят объяснить...:)
03.03.2006 21:34:01, Элла Прокофьева

334 комментария

От кого: Настройки

Вы не авторизованы. Авторизоваться

Если Вы отправите сообщение анонимно, то потеряете возможность редактировать и удалить это сообщение после отправки.

E-mail:
получать ответы на E-mail
показывать ссылки на изображения в виде картинок
Я тоже попробую. Сначала я бы пообсуждала что это за действие такое - деление, как его дети себе представляют. Обычно деление прдставляют как разделение на какое-то количество равных частей и тогда действительно трудно понять почему делить на ноль нельзя. Детям деление часто обьясняют примерами типа - " Есть шесть яблок и двое детей по сколько яблок надо дать каждому, чтобы у них было поровну. Т.е. 6:2=3. Действие "деление" можно сформулировать и по другому. Сколько раз нужно взять число 2 (в данном случае), чтобы получить 6? Или в общем "Сколько раз надо взять число, на которое делим, чтобы получить число, которое делим?" А применительно к делению на ноль - "Сколько раз нужно взять ноль, чтобы получить какое-то число, например то же 6?" Т.е. деление на ноль это невыполнимая задача, т.к. невозможно найти такое число, которое бы обозначало сколько раз надо взять ноль (ничего), чтобы получить что-то. Мой сын давно (лет с пяти, сейчас ему 6 с половиной) потерял покой из-за ноля и бесконечности, как правильно по научному объяснять не знаю, объясняю как могу. Сейчас вспомнила как сын переделал "Круглый ноль такой хорошенький, но не значит ничегошеньки" Маршака в "Круглый ноль такой хорошенький, но не значит почемушеньки". Переделал он этот стишок задолго до того как он стал мучать всех своими "почему" насчет действий с нулями. 09.03.2006 05:30:07, Иринище
Вы знаете, мне кажется, если ребенок просит объяснения, объяснение искать надо.
Поэтому я и вышла сюда с этим вопросом.
Лично я в детстве объяснения этому и другим правилам не искала и, возможно, поэтому пришлось потом покинуть математическую школу:)
А вот в гуманитарной школе достигла высот именно из-за того, что искала объяснение поведению героев:) Написала об этом кучу работ:)
Действия с нулем - очень интересная задача:)
Главное - детям интересно:)
11.03.2006 07:58:49, Элла Прокофьева
Огромное спасибо всем, кто откликнулся:)
Я понимаю беспокойство мам, которые сейчас подумали, а вдруг моего ребенка вот так запутают:)
Нет, конечно:)
Выучит дитё математику по программе.
Это вопросы сверх программы:)
08.03.2006 09:22:01, Элла Прокофьева
А я вот, как родитель, не понимаю таким мам. Причем, до дрожи не понимаю уже просто... 08.03.2006 16:34:25, Красно Солнышко
На ноль делить МОЖНО. Можно на ноль делить. Делить можно на ноль. Напишите на доске десять раз на каждого в классе.

Но на ноль можно делить не всегда. А только если нам разрешено работать с бесконечностями. Бесконечность - идея такая, ой-ёй, далеко не все смогут с ней работать и не сойти с ума. Поэтому, Вы детям объясните, традиционно от малышей её скрывают. Просто говорят им "на ноль делить нельзя", чтоб они туда не ходили и не смотрели.

А если посмотреть, что выйдет? Берём разные модели деления (Элла, у меня есть постер про умножения модели, вот тут можно образец посмотреть): http://www.naturalmath.com/mult/message_board.php?q=list
Красиво смотреть на модели площади. Мы хотим, чтоб площадь была 12. Скажем, берём одну сторону как 4, тогда вторая сторона 12:4=3. А если берём сторону 2, то вторая сторона 12:2=6. Уменьшаем сторону (хорошо на компьютерной модели смотреть, но можно руками, на клетчатой бумаге), что тогда приходится делать второй стороне? Чтоб площадь та же 12 оставалась? Хе-хе. Детям должно понравиться изобразить прямоугольник с площадью 12 и стороной, скажем, 1/100. Думаю, весь коридор займет. А когда к нулю идешь вот так, вторая сторона идёт к... бесконечности.

Поэтому ПОСВЯЩЁННЫЕ говорят, что когда делишь на ноль, выходит бесконечность. А от детей это до сих пор скрывают. Но уже недолго осталось, скоро перестанут. А раньше, сильно раньше, ноль был вот таким вот секретным; а ещё до того диагональ квадрата со стороной 1 была запрещена пифагорейцами к обсуждению, и за разглашение информации о ней полагалась смертная казнь. Математика и секретное знание, очень романтическая тема.
06.03.2006 16:01:00, Мария Д.
Спасибо огромное! Я чувствовала, что так и должно быть:)
Почему этому не учат в педагогических институтах?
С моей точки зрения, дети не сойдут с ума от подобного знания, а даже наоборот:), придут в восторг:)
Современные дети необычайно толерантны...
Спасибо!

07.03.2006 22:53:03, Элла Прокофьева
Это почему же не учат то? Учат прекрасно. Только кто ж оттуда до школ то доходит? 08.03.2006 09:36:07, Красно Солнышко
:) Любопытные...
Спасибо за Ваш отклик:)
08.03.2006 09:39:06, Элла Прокофьева
:))) Я рассуждаю с точки зрения статистики.
Статистика, вероятно, говорит о том, что любопытных по сравнению с теми, кто хочет еще и жить соизмеримо со своими способностями, гораздо больше. Мое любопытство удовлетворилось тремя месяцами работы. Но я не зарекаюсь. Может быть ближе к пенсии :)
08.03.2006 16:33:33, Красно Солнышко
А вот интересно, если у человека куча образований по поводу того, как учить детей тому или другому, но он не дошел до детского сада или школы..., то куда повела его логика этого пути?
08.03.2006 10:23:57, Элла Прокофьева
Куда угодно. Если интересно, я примерно могу вам рассказать где работают мои бывшие однокашники. В школе вот только нет ни одного. 08.03.2006 16:36:14, Красно Солнышко
В программисты. 08.03.2006 15:31:39, Мария Д.
В Англии, чтобы иметь право учить в начальной школе, необходимо иметь образование, достаточное, чтобы учить в средней. Чтобы учить в средней - достаточное, чтобы учить в старшей. И далее. Очень жаль, что не везде так. Особенно в местах, где нет привычки уважать правила, а наоборот почитаются те, кто громче и необычнее кричит:( так что веры в то, что "дите" научат математике, не очень много осталось после этой дискуссии. 08.03.2006 10:53:28, Mockingbird
Ты не права. Просто чтобы хорошо учить математике даже в начальной школе, надо знать высшую математику на уровне вуза. А самообразоваться по математике гуманитарию до нужного уровня - я не вижу шансов. Увы. При всем уважении.

С другой стороны, педагоги из средней школы, обладающие хорошим математическим образованием, не умеют учить детей из начальной школы. Не владеют методикой. Если, конечно, не самообразовывались дополнительно. Здесь я как раз вижу гораздо меньше проблем. Достаточно своего ребенка вдумчиво проучить в началке. Но кто же пойдет из средней школы в начальную?

Получается и так плохо, и этак нехорошо.
08.03.2006 16:42:39, Красно Солнышко
В чем я не права? Я именно об этом и говорю - чтобы учить хорошо, надо уже давно к этому моменту знать на гораздо более высоком уровне. И не с помощью самообразования, во всяком случае в широких масштабах.
А где они, эти педагоги, про которых ты говоришь? Проблема в том, что учебники все переписали, лучше бы задачи про трубы решали, как раньше. Это мое грустное имхо по результатам этого обсуждения:(
08.03.2006 19:40:37, Mockingbird
Хо-хо, мой ребёнок на семейном обучении. У меня "веры в то, что кто-то там ребёнка научит", не осталось в младшем подростковом возрасте. 08.03.2006 15:33:33, Мария Д.
И это при гораздо больших возможностей американской системы образования для детей, которые не хотят "как все" и родителей которые боятся, о ужас, что их детей запутают. 08.03.2006 16:37:33, Красно Солнышко
Ты бы хотела, чтобы с твоим ребенком пообсуждали, почему нельзя делить на ноль? Я - нет:) Но я вообще против начальной школы, ты знаешь:) 08.03.2006 20:35:24, Mockingbird
вот странно. Я тоже против начальной школы (мой ребенок на экстернате), но вот деление на ноль я с ней обсуждаю. И, кстати, про штаны (реальные штаны, а не метафорические) у нее тоже вопрос возникал, и тоже обсуждалось. почему животные без штанов ходят, а люди в штанах. И ответы "потому что потому" и "потому что так принято" ребенка не устроили, а вот книга по этологии - да. 08.03.2006 21:59:33, ох
А что тут странного? И мои некоторые дети были на экстернате ( и не исключено, что еще будут), но это не значит, что я начну рукотворить математику и отрицать наличие аксиом. А так же абстрактного мышления:) И я не буду вам писать, что мне жалко Вашего ребенка, потому что его учите Вы, а не я:) и не школа:) Наоборот, мне очень радостно за всех детей, у которых идет процесс познания, а не хождния:) в школу:) Для меня некоторый сюрприз, что я никак вам не могу объяснить про мерки и улитки:) но если честно, то я не очень напрягалась:) 08.03.2006 22:56:47, Mockingbird
я не отрицаю наличие аксиом. Но просто неужели неинтересно поисследовать - откуда такие аксиомы взялись? Почему именно такие, а не другие? А процесс исследования не-прямой, случаются и тупики и закоулки в виде улиток.
Точно так же можно просто принять как аксиому, что нужно ходить в шатнах. А можно поисследовать - откуда ЭТО взялось, залезть в этологию и поведение обезьян.
08.03.2006 23:03:32, ох
Вы категорически не понимаете, что такое аксиома:) Посмотрите в словаре:) хождение в штанах тут очень плохой пример:) потому что их можно снять, и ничего не изменится:) 08.03.2006 23:12:55, Mockingbird
Запросто посмотрю:
"Аксиома - это ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств". В.Даль
Сказано, что аксиома не ребует доказательств. Но нигде не сказано, что запрещено исследовать гнаницы применимости аксиом. И нигде не сказано, что запрещено исследовать последствия попыток нарушения аксиом :)
А второклашкам так вообще деление на ноль - совсем не "ясная по себе", хотя и бесспорная истина, иначе б Элла не начала эту тему.
Если вы выйдете голой на улицу - войдете в противоречие с обществом :)
08.03.2006 23:24:34, ох
Второклашкам, у которых возник вопрос, плохо объяснили, что такое умножение. Про аксиомы чуть позже напишу. 08.03.2006 23:42:08, Mockingbird
ОООО, неужели мы пришли к согласию?
"Второклашкам, у которых возник вопрос, плохо объяснили, что такое умножение." - это точно. Поэтому в программе Эльконина-Давыдова мерки начинают не в теме деления, а гораздо раньше. Как вы и советовали. И для изучения умножения эти мерки тоже применяют
08.03.2006 23:48:38, ох
Я практически незнакома с упомянутой системой:) так что ничего добавить не могу:) 09.03.2006 00:57:02, Mockingbird
У меня ощущение тяжелой зашоренности в рамках системы Э-Д :( 09.03.2006 00:04:28, Красно Солнышко
тяжела зашоренность в рамках :)))
Маш, ты что сказать хотела, я опять не понимаю!!!
09.03.2006 00:15:32, ох
А гипотезы есть? 09.03.2006 00:16:44, Красно Солнышко
есть. Много. Например такая - ты не понимаешь значение слова "зашоренность" :)
Или вот еще такая - ты сегодня не настроена ясно излагать свои мысли :)
09.03.2006 00:23:11, ох
Вторая мне больше нравится :))) 09.03.2006 00:26:11, Красно Солнышко
ну тогда извини, не могу продолжать. Я привыкла флиртовать и обмениваться неясными загадочными фразами только с особами мужского пола :) 09.03.2006 00:30:37, ох
А мне и первая тоже симпатична :))) 09.03.2006 00:32:27, Красно Солнышко
Можно создавать свои системы аксиом. С детьми. Как педагогический приём. И потом сравнивать их с традиционными системами. Что будет, если пересечь параллельные прямые? 08.03.2006 23:40:21, Мария Д.
А к академичности когда пойдем? 09.03.2006 00:05:06, Красно Солнышко
Когда это станет проектом :-) Захочешь, скажем, статью опубликовать... Тут тебе и опаньки, надо связывать свои системы с общепринятым языком, ссылки, интеграция, вся любовь. Чтоб приняло сообщество. 09.03.2006 00:10:30, Мария Д.
А урок в школе, это не сообщество еще, нет?
А выводы на уроке?
09.03.2006 00:13:23, Красно Солнышко
Это может быть сообществом. 09.03.2006 00:17:33, Мария Д.
С урока ребенок может уйти с в корне неверными выводами? Это нормально? 09.03.2006 00:20:31, Красно Солнышко
Это не только нормально, это совершенно неизбежно. Об этом пишут классики. Что с урока ребёнок уйдёт с крайне отличающимися от взрослых выводами :-) 09.03.2006 00:23:26, Мария Д.
И из школы в целом? 09.03.2006 00:27:09, Красно Солнышко
"Выдайте мне другой глобус". Так есть. Подчиняйся гравитации, это закон. Люди не заканчивают развиваться в выпускном классе. Hopefully. Посмотри, как много разногласий про ноль и бесконечность (хотя, если копнуть, никто тут друг другу не сумел противоречие сказать). 09.03.2006 00:29:12, Мария Д.
"И ты, Мойша, прав. И ты, Хаим, прав".
"Но, ребе, если прав Хаим, то неправ Мойша, если прав Мойша, то неправ Хаим".
Ребе (подумав):.
"Да, ты, Менахем, тоже прав".
09.03.2006 00:37:16, ох
Лучшие представители не заканчиваются, да. Но, знаешь, все меньше во мне оптимизма по этому поводу :( 09.03.2006 00:31:33, Красно Солнышко
Моему хуже уже не будет :)
Но у нас и не обсуждают. По математике В ШКОЛЕ очень земная такая программа. Гейдмановская. А вот Александровские проходы (Эльконин-Давыдов) меня местами пугают да. Хотя сама, кое-что я оттуда и беру. Но уж точно не мерки. И не системы счисления.
08.03.2006 21:20:48, Красно Солнышко
В России фундаментальное образование - лучшее в мире.
И российский учитель, который может себе позволить новаторство, это не крикун:)
Он сто раз подумает перед тем, как что-то необычное сказать:)
Так что, если Вас что-то задело в этой дискуссии, давайте обсудим без обобщений :)
08.03.2006 13:23:55, Элла Прокофьева
Первое утрверждение очень странное. Вы откуда это знаете? Математике на данном этапе лучше всего учат в Сингапуре. Да и что такое фундаментальное образование в Вашем понимании?
Я вообще участвую только в дискуссиях, которые меня задевают:) Так что обсуждать тут нечего:)
08.03.2006 20:33:20, Mockingbird
Дети, конечно, с ума не сойдут, но их повеселят рассказы ОБ этом, думаю. 08.03.2006 00:05:01, Мария Д.
Вероятно, тут просто важно соблюдать строгую последовательность: правило без доказательств, правило с доказательствами, обсуждение исключений из правил.
И не торопиться с переходом с одного уровня на другой.
Или возможен еще какой-то путь?
08.03.2006 00:14:59, Элла Прокофьева
Три противоречащих друг другу правила, без доказательств; из разрешения противоречий выстраиваем идею "доказательства" (в трёх разных, соответственно, пространствах). Обсуждение пространств. 08.03.2006 01:55:17, Мария Д.
Мария, а можно пример трех таких противоречащих друг другу правил? 08.03.2006 09:43:51, Элла Прокофьева
1. При делении на ноль ничего не получается, потому что само действие запрещено (в данной аксиоматике). Ну, например, так же вот нельзя делить число на треугольник, или на мишку косолапого, или на бесконечность: ноль может не входить в множество объектов, на которые мы делим.

2. Деление на ноль - это действие с пределами, надо смотреть, что к чему стремится "в бесконечности". Как 2 противоречит 1, наглядно показывают парадоксы Зенона (Ахилл никогда не догонит черепаху). Противоречие тут между дискретным и непрерывным мышлением, ниже есть немного про иррациональные числа, но невнятно. Непрерывность, как идею, вообще мало кто глубоко понимает, это сложная очень идея.

3. Когда делишь множество на ноль (в этом месте некоторая ещё другая теория), получается "неопределённость", парадокс, логическое противоречие. Вроде пересекающихся параллельных прямых. Другая логика.
08.03.2006 15:31:07, Мария Д.
2. А некоторые никак не могут ухватить идею точки разрыва:) 08.03.2006 20:04:51, Mockingbird
а родители? :)) 07.03.2006 23:03:07, ох
Я бы была против. Так как от учителя жду профессионализма, а если его в институте не учили теме, то чему он может научить ребенка... Скажет, что на ноль делить можно, а где и когда не объяснит. Толку то. 07.03.2006 23:35:28, Иллика
по программе Эльконина-Давыдова учителей готовят на специальных курсах. Долго готовят, и потом они еще долго практику проходят 08.03.2006 00:08:53, ох
Иллика, рассказ был обращён к Элле (проверьте, там её имя есть! не говоря уж о теме её!) и в ЕЁ профессионализме никаких сомнений. Темам можно научиться не только в институте :-) Профессионал продолжает учиться всю жизнь, пардон, я говорю банальности... 08.03.2006 00:04:30, Мария Д.
Извините, что вклиниваюсь:)
Не думаю, что учитель, который не может объяснить, почему на ноль иногда делить можно, станет вообще заводить эту тему:)
Однако я нашла учителя, который заинтересовался моим вопросом. Она сказала, что до сих пор об этом не думала. Но теперь ей самой стало интересно:)
Естественно, она не начнет свой урок по данной теме с бухты-барахты:)
Естественно, урок пройдет традиционно. Как и у меня:)
Но иногда думать не вредно:)
И уж, тем более, нам просто необходимо думать, когда дети задают вопрос "Почему?":)
07.03.2006 23:49:07, Элла Прокофьева
Возможно, во мне психолог просто пересиливает учителя. Но, сами представьте, как мы ограничиваем развитие ребенка, отвечая на его "Почему?" не научным объяснением, а псевдопрофессиональным: "Потому что потому!":)
Пусть на ноль делить нельзя:) Но нельзя не ответить на "Почему?" ребенка.
Поднимите все знания из этой области, но ответьте на вопрос ребенка...:)
08.03.2006 00:37:00, Элла Прокофьева
В данном случае "потому что потому" будет более профессиональным, чем "можно". 08.03.2006 00:39:03, Mockingbird
"потому что потому" -непрофессионализм в педагогике, "можно" - непрофессионализм в математике. Какой из них "более"???
Два килограмма - это более одной минуты? :)
Если учитель не в курсе, то лучшим ответом будет "не знаю почему, но попробую узнать"
08.03.2006 00:46:04, ох
А "можно" вопрос вообще не задавался:)
Я ищу знающих и понимающих, могущих мне помочь ответить на вопрос детей: "Почему на ноль делить нельзя?":)
08.03.2006 00:43:50, Элла Прокофьева
Потому что ноль хитрый обманщик и всех, кто на него умножается, превращает в себя:) поэтому нельзя узнать с помощью деления, кто это был:) Математически говоря, обратность умножения и деления нарушается, если один из сомножителей ноль. 08.03.2006 00:55:04, Mockingbird
Так...
5*0=0
0*5=0
0:5=0
0:0=?
В чем нарушение логики?
Ожидаемое 5 исчезло.
Ага. Спасибо.
А есть реальность, помимо этой логики?
08.03.2006 01:17:22, Элла Прокофьева
Нет, не так.
0*0=0
0*1=0
0*2=0
0*3=0
.....
0*9=0

Поэтому мы не можем знать, что будет, если мы разделим на ноль. Понятно или нет?
08.03.2006 01:21:44, Mockingbird
а может вот что непонятно будет этим детям - из этого столбика умножательного видно, что непонятность будет при делении нуля на ноль.
0*0=0
0*1=0
0*2=0
0*3=0
.....
0*9=0
А вот если мы не-ноль разделим на ноль? - спросят дальше дети
08.03.2006 02:18:07, ох
Разве? 2*3=6 => 6/2=3. 0*9=0 =>0/0=9. 0*15=0 => 0/0=15. Следовательно 9=15. Так понятно? 08.03.2006 03:22:27, Mockingbird
Да мне-то понятно:)
Я ищу схему, понятную детям:)
Если произведение "ноль", то при последовательном делении произведения на множители один из множителей в ответе исчезает:
9*0=0
0*9=0
0:9=0
0:0=должно быть 9.
Почему не 9?
08.03.2006 01:26:58, Элла Прокофьева
Удивительно, что вашим детям понятно, почему два умножить на три всегда будет шесть:) 08.03.2006 01:41:32, Mockingbird
:))) Потому что по две конфеты в трех блюдцах - это шесть конфет. У меня маленькие дети:) Очень любят сладкое:)
Шесть конфет, разделенные на 0 частей - это шесть конфет без блюдец:)))))))))))))
08.03.2006 01:51:50, Элла Прокофьева
6 конфет, деленные на 3, это, по-другому, пришли 3 ребенка, и взяли по 2 конфеты.
6 конфет, съеденные одним ребенком, это 6:1.
Если мы пытаемся 6:0, значит действительно никто не пришел за конфетами, т.е. прецендента деления НЕ БЫЛО.
Не знаю, сможете ли Вы это объяснить детям?
Поэтому мне, как физику, нравится давыдовская идея с мерками. Может потому что она более наглядна, т.к. связана с непрерывнымии категориями.
Например, с водой. Детям можно реально предложить все проделать самим.
Есть емкость с водой, скажем, 10 л (дети этого не знают). Чтобы измерить ее, надо перелить в другую емкость с помощью мерки.
Берем разные мерки: емкость 10 л, емкость 5 л, емкость 1 л, стакан, стопка, пипетка. Сколько бы мы не уменьшали мерку, все равно померить можно, хоть это будет очень долго и утомительно.
И тут мы приходим к 0 мерке - это значит, что ни молекулы воды мы зачерпнуть не можем (скажем, абсолютно несмачиваемая палочка). Сколько бы мы не пытались перенести воду из нашей емкости,сколько бы не прыгали вокруг, ничего не получится. Т.е. измерение произвести невозможно.
В терминах деления я, думаю, понятно.
Сначала мы делим на 1, потом на 2, 10 и т.д.
Последние манипуляции с 0 меркой будут равнозначны попытке деления на 0.
Потом можно перейти к конфетам или к яблокам:-))))
08.03.2006 19:15:07, Psymama
Идея с мерками - идея про стремление к нулю. Этв идея не имеет отношения к операции деления. Объект 0 в физическом мире не существует. 08.03.2006 22:37:02, Mockingbird
Очень смешная простенькая игра про ноль с детьми (2-4 года):
- Хлопнем в ладоши два раза. Три раза. Ноль раз!
- У меня в левом кулачке три монетки (дети открывают, проверяют). В правом кулачке у меня ноль розовых слонов (открывают, проверяют, хохочут).
- Сейчас я всем раздам по три конфеты. И по нолю банок с горчицей. Потому что она горькая.

Прыгать ноль раз, отмерять нулевую длину. Детям нравится... Ничто, не-прыжок, не-хлопок, не-длина. Смеются.
08.03.2006 23:43:26, Мария Д.
Ничего нового:) все те же глупости:) если их пощекотать, они тоже будут смеяться:) 09.03.2006 00:42:13, Mockingbird
Ага, это очень старая игра. Её придумала Монтессори чуть больше ста лет назад. Думаю, до неё придумывали тоже :-) Но Вы мне на вопрос про цели ниже ответьте, пожалуйста, для ясности, чтоб понять, как разговор продолжать (и стоит ли). 09.03.2006 00:46:04, Мария Д.
Слово Монтессори на меня не действует, как заклинание:) Не проинмает:)Я вот вспомнила, что у Левшина один из главных персонажей - Нолик, и что они там о делении много говорят. Не помните, что? 09.03.2006 01:01:42, Mockingbird
Вам помочь найти ссылку на тему, из Левшина? 09.03.2006 04:58:18, Мария Д.
Помочь:) 09.03.2006 07:24:32, Mockingbird
Например:
"Толстый помолчал, закатив глаза.
— Загадал.
— Шесть, — сказал длинный.
— Ничего подобного! — Толстый даже в ладоши захлопал от радости. — Не угадали.
Но длинного это ничуть не обескуражило. Он заявил, что и не должен был угадать, потому что однозначных чисел вместе с нулем у нас десять, — стало быть, вероятность угадывания при этом равна всего-навсего одной десятой. Еще хуже, по его словам, обстоит дело с двузначными числами, которых, как известно, девяносто. Тут уж вероятность отгадывания равна одной девяностой! Но ведь дорог в этой пустыне нет: ходи как вздумается! Каждый путешественник может наметить бесконечное множество маршрутов. И так как при бесконечном числе вариантов вероятность встречи равна нулю, значит, встретиться они ни в коем случае не могли." http://publ.lib.ru/ARCHIVES/A/ALEKSANDROVA_Emiliya,_LEVSHIN_Vladimir/_Aleksandrova_E.,_Levshin_V..html
Вот ещё хорошая область про деление на ноль поговорить: вероятность. Там тоже встречаются смешные множества нулевой меры, и рядом с ними всплывает бесконечность.

Вообще Левшин есть в интернете, и ссылки на него собирала Красно Солнышко.
09.03.2006 14:41:12, Мария Д.
Вы все про свое:) и Нулика даже нет в этой книжке:) так что помочь вы мне не смогли, хоть и пытались:) Левшина в интернете практически нет, судя по всему, но у Маши я еще раз спрошу. 09.03.2006 19:25:58, Mockingbird
"Я вот вспомнила, что у Левшина один из главных персонажей - Нолик, и что они там о делении много говорят. Не помните, что?"

Квантор "и" я трактовала как ссылку на объединение множеств, а не пересечение. Вы вспоминили, что у Левшина один из главных персонажей Нолик. Вы также вспомнили, что Левшин много говорит о делении. Попросили у меня найти ссылку, что Левшин говорит о делении. Я одну нашла, в тему этого разговора о математике. Если хотите сделать более подробную просьбу о ссылках, на меня, как заклинание, действует слово "пожалуйста" :-) Но я не могу продолжать этот разговор, не получив ответа на свой вопрос ниже.
09.03.2006 19:44:36, Мария Д.
Его зовут НУЛИК:) это и это важно:) Вопроса внизу не вижу. 09.03.2006 21:56:57, Mockingbird
В интернете есть, но дочке я просто брала в библиотеке. 09.03.2006 19:12:09, Красно Солнышко
Я это к тому, что в е-текстах удобно искать по ключевым словам "ноль, бесконечность" и так далее, можно сразу тему проверить тщательно, если нужно найти все ссылки в такой-то книге. 09.03.2006 19:24:32, Мария Д.
Бесконечность обязательно нужно не забыть добавить при поиске:) 09.03.2006 21:54:45, Mockingbird
Зато она хорошо иллюстрирует, что бесконечно малое и 0 не одно и то же. 08.03.2006 23:31:46, Psymama
Возможно:) А как Давыдов предлагает объяснять, что такое ИКС? Как он к абстракциям переходит? 08.03.2006 23:43:28, Mockingbird
у Давыдова икс - РАНЬШЕ, чем числа и цифры. В первом классе. 08.03.2006 23:49:57, ох
И что он у него за зверь, этот иКС? 09.03.2006 00:43:01, Mockingbird
Вы же не хотите, чтоб я тут пересказывала их учебник за 1 класс? 09.03.2006 00:52:35, ох
А что? Жалко тебе, что ли? 09.03.2006 00:53:24, Красно Солнышко
мне всегда казалось, что на переписывание книг от руки способны только монахи. Ну может еще некоторые люди, но немногие :) 09.03.2006 00:56:03, ох
Значит жалко. 09.03.2006 01:02:01, Красно Солнышко
зато она имеет отношение к преподаванию математики. Ниже уже написали
делить на ноль нельзя, потому что нельзя --- а может все-таки можно (мерки-мерки...) --- а нет (приходим к противоречию) все-таки нельзя!
А обсуждение свелось к тому, нужен ли такой подход ребенку. Или же "потому что потому" - достаточно.
08.03.2006 22:57:59, ох
Две конфеты в трех блюдацах, и даже в пяти блюдцах - все равно две конфеты:) Три блюдца, в каждом из которых по две конфеты - это 6 конфет:)
6 конфет нельзя делить на ноль частей:) ОСОБЕННО конфет:)
08.03.2006 03:25:24, Mockingbird
Не две, а по две:) 08.03.2006 09:15:03, Элла Прокофьева
Намекаете, что у меня дислексия:) когда я читала, было написано две:) в любом случае блюдца лишние:) 08.03.2006 10:15:50, Mockingbird
Так. СТОП! Пошел негатив.
Вместо размышлений.
Необходим перерыв...
08.03.2006 13:38:04, Элла Прокофьева
Да пожалуйста:) А в чем негатив? В том, что блюдца лишние? 08.03.2006 20:10:57, Mockingbird
шесть конфет без блюдец лежат на ОДНОМ столе - 6:1=6, тут не на 0 частей конфеты разделили, а на 1 часть, получили шесть. 08.03.2006 02:25:24, ох
Ага. Что тогда есть - разделить на ноль частей?
Или этого просто нет?:)
08.03.2006 10:13:29, Элла Прокофьева
Именно.
Разделить на 0 - как бы конфеты за стеклом: видит око, да зуб неймет.
То же самое с водой в решете.
08.03.2006 19:25:48, Psymama
Неужели Вы все-таки это поймете:) 08.03.2006 10:54:49, Mockingbird
Неужели Вы так и не поняли, что я спрашиваю от лица второклассника?
08.03.2006 13:31:56, Элла Прокофьева
Есть идеи, которые не всегда можно понять. Иногда к ним надо привыкнуть просто до того момента, когда появится база для их восприятия.
Ну, например.
Вселенная бесконечна? Как это? Можете пояснить?
А если вселенная конечна, то какая она, что там на границе, а что за границей???
А теперь представьте себе муравья на шаре. Вот он ползает по нему. Шар бесконечен для него? А для вас???
08.03.2006 16:46:58, Красно Солнышко
Ну, например, дети спрашивают, почему мы можем ноль разделить на пять частей и получить ноль, но не можем пять разделить на ноль частей и получить этот же ноль? 08.03.2006 00:51:57, Элла Прокофьева
Вот именно потому нельзя делить на ноль - потому что дели ноль хоть на пять частей, хоть пятьдесят пять - будет все тот же ноль. Ваши дети очень были близки к правильному ответу. У вас таблица умножения висит на стене? Допишите туда в начало каждой колонки 0*1=0,0*2=0, и до конца. Судя по ходу их мыслей, они сами догадаются. 08.03.2006 01:07:40, Mockingbird
Один ребенок объяснил так: частей может быть сколько угодно, но если мы ноль делим на эти части, то ноль и получаем.
Но делить на ноль частей любое число бессмысленно, хотя все равно непонятно, почему нельзя:)
08.03.2006 01:04:25, Элла Прокофьева
А родители любят учителей фундаментальных:)
Это когда сначала АКСИОМЫ, потом Теоремы, потом гипотезы, и иногда, по праздникам:), викторины с вопросами типа "Веришь ли ты, что на ноль делить можно?":)))
07.03.2006 23:10:41, Элла Прокофьева
Кстати, буквально сегодня, на фуршете, посвященном 8 марта (учителя делают методобъединение даже из фуршета, я сама такая :)), прозвучал вопрос о конкуренции фундаментального образования и образования функционального. Что лучше?
Я полагаю, сначала первое, потом второе. Но получить необходимо оба образования:)
07.03.2006 23:19:52, Элла Прокофьева
Не, ну тут не ноль, в старших классах алгебра - пределы, кто-то к нулю стремится, что-то к бесконечности. 06.03.2006 22:19:52, Иллика
Да, это именно про пределы. Можно и в младших классах. 07.03.2006 01:40:57, Мария Д.
Можно, но в школе же программа, утвержденная министерством, часов на пределы не отведено:). Разве на кружке. В школьной программе не проходят деление на 0, а пределы проходят... 07.03.2006 08:29:42, Иллика
ну да, я там ниже написала - особо нетерпеливым - можно вместо школы.
А вообще-то есть 4 (или уже больше?) программы, утвержденных Министерством. В том числе и программа Эльконина-Давыдова, где отведены часы и на разговоры о математике :)
07.03.2006 13:39:37, ох
Не хотите немного свою память освежить? 07.03.2006 03:05:50, Mockingbird
Я всё это знаю, спасибо. У меня мастерс в математике и PhD в математической педагогике. 07.03.2006 03:17:09, Мария Д.
К сожалению, я в курсе ваших регалий. Так в каком пространстве разрешено деление на ноль? И какой нам смысд вводить бесконечно малые, если можно просто разделить на ноль? Если вы немного потрудитесь почитать ниже, то увидите, что ятоже считаю, что на ноль делить можно:) 07.03.2006 03:20:51, Mockingbird
Вы хотите разговаривать ласково, или вообще не разговаривать? 07.03.2006 03:22:36, Мария Д.
А зачем ласково:) вежливо - пожалуйста:) по существу что-нибудь скажете? 07.03.2006 03:35:43, Mockingbird
Зачем бесконечно малые во втором классе - это вопрос педагогический, а не математический. Затем, чтоб идею деления на ноль повертеть и обсудить с разных сторон, разные "картинки" нарисовать и обдумать, а не просто выучить как молитву "на ноль делить нельзя там, где мы сидим".
Вот еще картинка: у нас улитка проползает путь по веточке в 12 сантиметров с очень маленькой скоростью за очень большое время. Если улитку совсем парализует, то она свой путь сможет проделать с нулевой скоростью за бесконечно большое время.
07.03.2006 04:56:51, ох
Если улитку парализует, то она остановится, и до конца ветки не доползет НИКОГДА. Это и есть нулевая скорость и бесконечное время? В смысле "все относительно"? Извините, я гуманитарий, но очень хочется понять 07.03.2006 10:44:12, шла мимо, но не удержалась
Да, "никогда" - это и есть бесконечность. 07.03.2006 16:35:04, Мария Д.
Почему же не ноль? 07.03.2006 17:53:26, Mockingbird
По времени. 07.03.2006 19:34:12, Мария Д.
Да ладно тебе, Маш. Времени то как раз не ноль пройдет. Его очень много пройдет (субъективно для ребенка). И не выплывешь ты при таком объяснении НИКОГДА. 08.03.2006 16:50:07, Красно Солнышко
Я-то выплыву... и мои... хе-хе. 08.03.2006 19:55:51, Мария Д.
Ты выплывешь. Причем, вполне возможно, что даже не на этом уроке, здесь только подцепишь. А ты школу со всем этим представь. С учителем нематематиком, который никуда без методички :( 08.03.2006 21:23:07, Красно Солнышко
Я это очень хорошо представляю. Только сегодня с дочкой в очередной раз беседовали о том, почему считаю школу плохой идеей. С учителем нематематиком. Беда, коль сапоги начнёт печи кондуктор :-) 08.03.2006 21:34:56, Мария Д.
:) 07.03.2006 20:27:24, Mockingbird
Силюсь, силюсь понять... Видимо, правда, есть математический склад ума, а есть... другой 07.03.2006 14:40:31, та же, проходящая мимо
если улитку будет постепенно парализовывать, то она будет проползать свои 12 см со все меньшей (стремящейся к нулю) скоростью за все большее (стремящееся к бесконечности) время. Но все еще 12 см. Если же она совсем остановится, то мы НЕ СМОЖЕМ сказать, что за время, равное бесконечности - она проползет 12см. Почему именно 12? 07.03.2006 13:34:36, ох
Вот неплохая страничка, подходит вашей 8-летней дочке. Обратите внимание на предел 1/x при х стремящемся к нулю:) does not exist - достаточно понятно? 07.03.2006 20:35:23, Mockingbird
классная ссылка, спасибо!
Про does not exist - понятно. Непонятно только, почему Вы это подчеркиваете, с улиткой мы ведь делим на модуль скорости, который к +0 стремится
07.03.2006 21:13:57, ох
Мне очень не нравятся улитки в математике. Предел - это то, чего вы никогда не достигнете. Я считаю, что говорить про пределы в теме про определение деления - неправильно. Раньше - вполне нормально. 07.03.2006 21:35:11, Mockingbird
Чем Вам улитки не угодили? Чем они хуже яблок?
Я в кусре, что предел недостижим.
И я как раз и предлагала ДО определения деления поговорить о пределах. Тогда легче потом понять, почему у деления именно такое определение. Собственно, программа Эльконина-Давыдова вся так и построена - сначала обсуждают, рассматривают, крутят со всех сторон, потом сами пытаются сконструировать какое-нибудь определение или правило, а потом уже сравнивают с "эталоном".
07.03.2006 21:59:46, ох
Я по себе сужу. В моем детстве не было улиток :), но была известная задача про Ахилла и черепаху. Помню, что осталась в полном недоумении. 08.03.2006 16:53:58, Красно Солнышко
Мне и яблоки не нравятся:) но они хоть не ползают:) 07.03.2006 22:08:10, Mockingbird
ну пусть будут яблоки :) По Вашей же ссылке (n/n+1) кусочек яблока постепенно стремится стать целым круглым яблоком, постепенно дойдет до целого-без-одной-молекулы-яблока, дальше не поймет, что делать и в задумчивости уползет прочь :)
Круг никогда не станет точкой, хотя при уменьшении все будут видеть только точку, а потом и вообще совсем ничего видеть не будут :) А в последнем графике по ссылке колебания никогда полностью не затухнут, хотя все будут видеть висящий неподвижно маятник, и только математик будет знать, что этот маятник все еще качается, так?
На самом деле, конечно, все эти улитки - физика, использующая вашу идеальную математику для своих приземленных улиточных нужд. Но ведь именно для этих нужд и нужна математика, разве нет? :)

07.03.2006 22:32:41, ох
Я тебе объясню, что мне не нравится. Ребенок пока не видит границ этой модели.
Физики ВСЕГДА начинают с описания модели в которой приемлимо такое решение.
08.03.2006 16:55:03, Красно Солнышко
ребенок не видит границ какой модели? 08.03.2006 22:24:18, ох
Во втором классе? В обычной школе? На обычных уроках? Естественно не видит. Что он знает то кроме натуральных чисел??? 08.03.2006 22:51:40, Красно Солнышко
я так и не поняла, чего именно ребенок не видит? 08.03.2006 22:55:53, ох
А сама то ты что спрашивала?
Развлекуха при таком обсуждении будет. Математики - нет.
08.03.2006 23:21:29, Красно Солнышко
точно, будет! Меня математика так развлекает!!! 08.03.2006 23:27:40, ох
Выше, вынесла отдельной темой вопрос. 08.03.2006 23:32:50, Красно Солнышко
1. n/(n+1)= 1-1/(n+1)
Наводит на размышления?
2. Не точка получается из круга, а круг - из окружности, а окружность - из точки и расстояния.
3. Математики живут в той же физике, что и вы с дочкой, и улитки, и яблоки:) вечнокачающийся маятник - это вечный двигатель:) он тут у многих есть:)
4. Да, математика нужна:) но иногда кажется, что лучше без нее:)
08.03.2006 00:04:59, Mockingbird
1. наводит. Я все-равно от целого яблока в физическом мире не смогу отщипнуть меньше 1 молекулы. В математическом можно, наверное :)
2. Точка из круга только кажется, что получается. Потому как глаза наши несовершенные к физическому миру приспособлены, а не к математическому. Но математики-то знают, что на самом деле все не так :)
3. Математики живут в физическом мире, но любят математический :)
4. Кому так кажется? Неужели математикам? :))
08.03.2006 00:21:49, ох
Lim (1/x) при х->(0+) равен +бесконечности, при этом. Правый предел. А левый равен минус бесконечности. А полный не существует. 07.03.2006 20:53:46, Мария Д.
Потому, что на ноль делить нельзя в пространствах, в которых изучают математический анализ:) 07.03.2006 21:36:47, Mockingbird
На ноль делить можно. Можно делить на ноль. Делить можно на ноль. 07.03.2006 22:27:32, Мария Д.
и так до бесконечности:) 07.03.2006 23:32:27, Mockingbird
!!!!!
до неё, родной
08.03.2006 00:05:38, Мария Д.
:)) 07.03.2006 23:36:43, ох
При этом красота в том, что время улиткино будет СТРЕМИТЬСЯ к бесконечности, но, конечно, "равным" бесконечности не станет, потому как само понятие "равно" исчезает в этом контексте. Сочная тема :-) 07.03.2006 05:27:27, Мария Д.
не-а, самая красота в том, что ребенок после обсуждения прямоугольника с уменьшающейся стороной - уже сам может все то же самое проделать с улиткой :) 07.03.2006 13:32:09, ох
Ага :-) Метафорический перенос <3
Этот симовол "<3" - сердечко на боку, если что.
07.03.2006 16:34:32, Мария Д.
Ага, а точка - это очень маленький круг, да? Ужас-ужас:) 07.03.2006 06:23:15, Mockingbird
Немного не так: "точка - это очень маленький круг? А может точка - очень маленький отрезок?" Это еще одна тема для обсуждения с ребенком!!!
Наверное, про улитку мне тоже надо было с вопросительным знаком написать, чтоб было понятно - это не утверждение, а приглашение к обсуждению
07.03.2006 13:10:21, ох
Ой, обязательно поговорите:) именно про это:) и улитку туда запустите, на этот отрезок, полупарализованную:) 07.03.2006 17:52:47, Mockingbird
про улитку уже поговорили. Я вообще своей восьмилетней дочке транслирую весь этот разговор, она прыгает до потолка от радости :) 07.03.2006 18:07:08, ох
я тоже прыгаю:) не забудьте протранслировать:) 07.03.2006 20:26:51, Mockingbird
а Вы почему прыгаете? 07.03.2006 20:29:43, ох
Потому что интересно, а она почему? 07.03.2006 21:35:41, Mockingbird
а она - потому что ОЧЕНЬ интересно :))) 07.03.2006 21:51:44, ох
почему бы об этом не поговорить и в начальных классах? 06.03.2006 22:45:19, ох
>Бесконечность - идея такая, ой-ёй, далеко не все смогут с ней работать и не сойти с ума. Поэтому, Вы детям объясните, традиционно от малышей её скрывают. Просто говорят им "на ноль делить нельзя", чтоб они туда не ходили и не смотрели.

Что-то не одного сумасшедшего по этому поводу не знаю:)
Многие уже туда ходят и смотрят, и, как ни странно, все понимают:)))
06.03.2006 22:13:40, Psymama
Я вообще мало сумасшедших знаю :-) Но на математике у многих крыша едет, из тех, кого знаю... Вообще, это была сказка. Я плохо умею писать сказки. Смысл в том, что идеи нулей и бесконечностей таинственны и немного опасны. Романтика такая, плащ и кинжал, ходим осторожно... Детям нравится :-) Хоть я и плохо умею сказки. 07.03.2006 01:40:13, Мария Д.
Как раз сказки вы умеете очень хорошо:) особенно для взрослых:) 07.03.2006 03:08:35, Mockingbird
Ура! Спасибо! Я так ждала , что вы ответите. Впервые за 35 лет жизни мне это объяснили! :) А ведь давно хотелось понять... 06.03.2006 20:06:10, ЮлияС
Э-эх, пожинаем плоды наглядного обучения. Все надо потрогать, пощупать, а иногда и понюхать. К сожалению, в математике так все время нельзя. 0 - не просто отсутствие чего-то, это математическая абстракция, которую потрогать-пощупать нельзя. И деление на ноль тоже. Придется им поверить наслово :))) 04.03.2006 20:49:41, Psymama
См. выше пример. 06.03.2006 16:02:48, Мария Д.
необязательно. Например, ноль в 102, в разряде десятков ноль - это как раз "просто отсутствие" десятков в этом числе, и его можно пощупать :) Не так уж плохо наглядное обучение :) 05.03.2006 00:02:06, ох
Здесь - да. Но на этом примере математический смысл нуля не ясен! И когда приходит время деления на 0, начинаем выкручиваться. Поэтому мне и нравится больше в обучении принцип от абстрактного к конкретному (как у В.В.Давыдова), а не наоборот.
Кстати с мерками, это вы предложили? У Давыдова так и меряют все, ищут универсальную мерку, зато детям понятно, что нулевой меркой ничего не измеришь, и бессмысленность деления на 0 ясна сама собой.
05.03.2006 01:55:21, Psymama
Деление на ноль осмыслено в языке ПРЕДЕЛОВ, а не равенств. В том числе. И в некоторых других языках. Например, язык наклона (дифференцирования), тоже с пределами связанный, но более наглядный. 06.03.2006 19:00:33, Мария Д.
И все же бесконечно малое и ноль разные вещи. Сколько не уменьшай бесконечно малую величину, нуля не получишь:(
Кстати, а какой смысл области определения функций в матанализе, если на ноль (по-Вашему) в нем делить можно?
06.03.2006 23:40:20, Psymama
Вот, ещё один хороший пример, про область определения, что "на ноль делить нельзя" означает - "в некоторых местах мы этого не делаем". Например, штаны снимать нельзя в некоторых местах. В других можно. 07.03.2006 01:45:11, Мария Д.
Как-то привыкли думать, что математика наука точная. И правила в ней строго определенные. И аналогия со штанами как-то...здесь снимаем, а здесь стесняемся, т.к. не знаем, что вообще в этом месте делается, может укусит кто...
Так что ли?
07.03.2006 04:38:22, Psymama
Математика - наука РУКОТВОРНАЯ в первую очередь. Человеческое, живое, душевное дело, горячее, эмоциональное, как можно в этой теме наглядно наблюдать :-) Когда люди впервые стали придумывать корни из минус единицы, христианские церкви вмешались. Пифагорейцы были готовы умереть за идею рационального числа, а мы тут рубимся за определение предела. Кровь и любовь :-)

Если менее метафорически и более конкретно, тут разговор идёт об определении понятий "равенство" и "деление". Если мы говорим в терминах алгебры (и вытекающей из неё, как более конкретное из более абстрактного, арифметики), то деление на ноль не входит в аксиоматику потому, что там не работают с действиями, его требующими; в частности, в определение "деления" не входит "деление на ноль". Чтоб обсудить тему, вводим НЕСКОЛЬКО РАЗНЫХ областей со своими определениями (тут три обсуждались - меры-множества, алгебра и анализ) и с детьми обсуждаем СРАВНЕНИЕ этих областей. Вот если разрешить "стремление к бесконечности", будет так, а если разрешить множество меры ноль, будет эдак. И споры, как "правильно", и отсюда красивый выход к тому, что ПО-ВСЯКОМУ правильно, только надо оговорить, в каком месте ты находишься (тут со штанами, тут без штанов), оговорить свою аксиоматику. Ну, и ещё выход на то, конечно, что теория должна быть непротиворечива, парадоксы Зенона (из смешивания двух теорий происходящие) и остальная красотища :-) Детям доступная, главное. Зенон очень наглядный, в частности. Хороший был педагог (по крайней мере, тот виртуал, что выжил в описаниях), уважаю.
07.03.2006 05:39:02, Мария Д.
Number Theory Arithmetic Multiplication and Division
Division by Zero



Division by zero is the operation of taking the quotient of any number and 0, i.e., x/0. The uniqueness of division breaks down when dividing by zero, since the product is the same for any , so cannot be recovered by inverting the process of multiplication. 0 is the only number with this property and, as a result, division by zero is undefined for real numbers and can produce a fatal condition called a "division by zero error" in computer programs.

To the persistent but misguided reader who insists on asking "What happens if I do divide by zero," Derbyshire (2004, p. 36) provides the slightly flippant but firm and concise response, "You can't. It's against the rules." Even in fields other than the real numbers, division by zero is never allowed (Derbyshire 2004, p. 266).

07.03.2006 06:31:43, Mockingbird
а мне нравится аналогия со штанами, хороший способ объяснить ребенку про область определения. Если мы не знаем, можно ли, то уточняем в справочнике или у добрых людей - а не укусит ли здесь кто? 07.03.2006 04:58:24, ох
Вот-вот. Один из кирпичей теории бесконечно малых - невозможность поделить константу на ноль. Жуть что творится в мире:) 07.03.2006 00:20:10, Mockingbird
Вы это мне объясняете?
Я-то это знаю прекрасно, все-таки физтех кончала, хоть и давно. Я знаю, как это объясняют в курсе Давыдова. Но речь идет о второклашках:) И традиционном подходе:( Они прошли операцию умножения, а теперь проходят операцию деления. Соответственно возник пример а:0, про который учитель говорит: низя! Дети спрашивают: почему? И тут мы переходим к бесконечным площадям, микроскопическим меркам и т.п. После яблок и груш. Не знаю каково это, я не учитель. Может быть кто-нибудь пробовал? Очень интересно Ваше мнение!
06.03.2006 21:36:20, Psymama
Я пробовала примерно в описанном стиле. Дети вообще любят про бесконечности. И про модели. Берёшь десяток разных моделей, смотришь, что там с нулём происходит. Хоть на яблоках, хоть на площади. Происходит странное и интересное. 07.03.2006 01:42:39, Мария Д.
Бесконечно малая и ноль - разные вещи. То, что говорите вы, совершенно ни при чем. И все эти с площадями и мерками никакого отношения не имеют к понимаю того, почему в арифметике запрещено делить на ноль. 06.03.2006 20:12:04, Mockingbird
Вот и поговорили :-) 07.03.2006 01:43:09, Мария Д.
А вы немножко понимаете разницу стремления к нулю и равенства нулю? Штаны снимать можно, только не в математиском анализе. 07.03.2006 03:02:03, Mockingbird
Я понимаю эту разницу. Поэтому в тексте выше я употребляла слова вроде "стремится" и "выходит", когда говорила о нулях и бесконечностях, и "равно" (также знаком =), когда говорила о натуральных числах. Это та самая ключевая разница, которую я пытаюсь выразить. На ноль можно делить в ситуациях, в которых мы говорим о пределах, стремлениях, приближениях. "Равно" там неуместно, по очевидным причинам.

Вообще, тема "равно" очень богатая, как раз для детей шести-восьми лет. Там и разница между равенством и эквивалентностью, и понятия "предел равен" (который НЕ равен в арифметическом смысле), и много ещё чего.

По-хорошему радует высокий эмоциональный тон этой темы. Вот так бы всегда в математике, и тогда в детях был бы острый, здоровый интерес.
07.03.2006 03:21:48, Мария Д.
Когда мы говорим о пределах, мы можем написать выражение 0/0. И подстчитать, что равно это, напрмер 5-ти. Но поделить на ноль мы не можем. Иначе и пределов не будет. Согласны? 07.03.2006 03:39:19, Mockingbird
Когда мы говорим о пределах, мы можем сказать, что предел некоторой ФУНКЦИИ равен пяти, при этом предел числителя и знаменателя функции равен нулю. Сказать 0/0=5 нельзя, путаница. Что назовём "делением на ноль" в терминах пределах? Какой-то предел, равный нулю, на который делят... 07.03.2006 05:41:06, Мария Д.
Однозначно. Сорри, повторилась:( 06.03.2006 23:42:12, Psymama
Ну почему же не при чем? Вот Ирен_Адлер ниже написала
"есть два числа какие-то А и В. А -любое число. В=А/0. Тогда В*0=А => получаем противоречие, А - не любое число"
Можно то же самое сказать "мерками" - Измерим величину А нулевой меркой, получим таких мерок В штук. Теперь быстренько отмерим нулевой меркой В раз, получим ноль, а вовсе не велчину А, противоречие.
Или тот же прямоугольник площадью 12. Увеличиваем длину одной стороны, и уменьшаем другую, чтоб оставалось 12. Но вот если вторая сторона - ноль, то и площадь уже вовсе ноль, а никак не 12. Опять противоречие.
А все уменьшения до бесконечно малых - это чтоб поговорить, почему такое противоречие получается. Или вообще поговорить о бесконечном и вечном :)
06.03.2006 20:42:51, ох
Какое же противоречие в идее бесконечно малых?
Вы, наоборот, проиллюстрировали, что б.м. и 0 не одно и то же.
07.03.2006 00:07:33, Psymama
ну да, я и хотела это проиллюстрировать. Противоречие получается при переходе от бесконечно малой стороны прямоугольника к нулевой стороне прямоугольника - исчезает площадь, она уже не 12...
"На ноль делить можно" - это лозунг такой. Означает - "на ноль МОЖНО попробовать поделить, даже если учительница сказала, что нельзя" :) Попробовать поделить разными способами, в лоб - на ноль гостей или уменьшая мерку до нуля, или уменьшая сторону прямоугольника до нуля. И потом сделать собственные выводы о том, можно ли делить на ноль.
А заодно и понять, почему кто-то говорит "при делении на ноль получится бесконечность", понять ЧТО именно при этом имеется в виду - может не сам ноль, а стремящееся к нулю нечто.
07.03.2006 00:39:24, ох
С нулевой меркой - абсолютно тот же смысл, как и деление 6 яблок на 0 гостей. Однако, вы бессмысленность деления нулевой меркой видите, а вот деления 6 яблок на 0 гостей нет. :) 05.03.2006 09:20:20, Иллика
Нет, не тот же. К нулевой мерке мы приходим не вдруг, а постепенно уменьшая мерку. А с яблоками так не получится. По крайней мере наглядно, для второклашек. Здесь как раз демонстрация принципа непрерывности и дискретности в математике. Мерку мы можем уменьшать сколь угодно долго. А деление на количество людей можно варьировать только величиной n, но тут деления на 0 мы не получим.
Идея мерок хороша своей универсальностью. Мы меряем объем, величину отрезка, площадь фигуры - это все математические категории. А категория яблок, пардон, несколько не то, не учит она детей математике, хоть и супернаглядна.
05.03.2006 17:16:29, Psymama
Вы вконец запутаете детей. Постепенно уменьшая мерку мы никогда не получим ноль. Поэтому будем делить на что угодно, только не на ноль. Зачем детям внушать неправильные мысли, насчет того, что постепенно что-то уменьшая можно получить настоящий ноль:) В первом классе они изучают натуральный ряд, а натуральный ряд это как раз математическая абстракция яблок (груш, персиков, абрикосов... ) , вообщем, конечных единичных объектов. В первом классе дети вполне способны абстрагироваться от конкретной категории яблок и представить те же действия с категорией груш. И, наверное, лучше не мерки резать, а что-то типа парадоксов Зенона придумывать. Т.к., мое нематематическое имхо, разрезание мерок до нуля вредно для математических представлений ребенка:) То, что мы никогда не сможем разрезать мерку в ноль и получить бесконечность в частном не объясняет, почему на ноль делить нельзя. 05.03.2006 19:58:19, Иллика
Нет, не запутаю, это же не я придумала с мерками, а тот самый Давыдов, о котором я тут писала. Я ничего нового не предложила. А его система уже много лет опробируется и дает положительные результаты, по крайней мере, в преподавании математики.
Фишка все в том, что детей ИЗНАЧАЛЬНО ТАК учат. Если начать ТАК объяснять детям, занимающимся по традиционной программе, то конечно можно и запутать. Поэтому им и предлагается поверить на слово, что на 0 делить нельзя. Во втором классе это не криминально, а потом, кому надо, разберутся, почему.
Разрезание в бесконечность (бесконечно малая мерка) дает представление и о бесконечно большом. А нулевой меркой просто измерить нельзя.
05.03.2006 20:08:24, Psymama
Честно говоря, мне не хочется вникать в разнообразные приемы обучения математике детей. Надо сказать, и традиционные методы давали и дают превосходные результаты:)
Для меня прием с меркой (разрезание) как доказательство того, что на 0 делить нельзя нелогичен (парадоксы зенона). А пример, что нулевой меркой ничего измерить нельзя - аналогичен нулевому количеству гостей (в том пространстве натурального ряда, который изучается во втором классе). Мерка, как ни крути - единичный отрезок и символизирует единицу, хоть может быть длиной в 3,14... (к сожалению, дальше не помню:), но в отличии от 3,14... она должна быть целой и конечной, ну это правило такое, не будем забывать, что у нас- натуральный ряд, а раз мерка символ единицы, то она тоже самое, что и гость - тоже символ единицы.
Теперь нам надо доказать, что ноль это одно и тоже для мерки и гостя:) Нет мерки - нельзя измерить единичными отрезками чего-нибудь. Нет гостя - нельзя между ними разделить пищу, драгоценности или еще чего-нибудь. Интересно, я одна вижу здесь полную аналогию?

05.03.2006 22:38:39, Иллика
Вы извините, но к меня от вас просто мурашки по коже:) 06.03.2006 04:29:35, Mockingbird
Яблоки нельзя измерять гостями. Как нельзя измерить время линейкой или длиной нитки. Шесть ябок я могу измерить меркой "два яблока", например, получу 3. 6:2=3. Сначала яблоки разделю на 3 кучки, а потом уже трем гостям достанется по два яблока каждому, если они за яблоками придут :).
Но я могу шесть яблок измерить еще и меркой "половинка яболка" (мерка МОЖЕТ быть не-целой, хотя и должна быть конечной). Шесть я при этом разделю на 1/2, получу 12. Двенадцать половинок яблока получат мои 12 гостей.
Если ко мне прийдет ну очень много гостей, то мне нужно будет мерять шесть яблок ну очень маленькой меркой "крупинка яблока". (А сколько ко мне должно прийти гостей, чтоб я захотела померять свои яблоки нулевой меркой? - нет ответа)
А могу еще шесть яблок померять меркой "12 яблок". 6:12=1/2. То есть в мои шесть яблок влезет половинка мерки "12 яблок". Так по Давыдову. То есть если вдруг ко мне прийдет половинка гостя, то я этой половинке должна буду вручить 12 яблок :)) Так по-вашему?
Мерки тем и хороши, что можно сразу брать не только натуральные, а все действительные числа, не получая при этом некро-ужасов в виде половинки гостя. Уже в начальной школе :)
05.03.2006 23:27:55, ох
Да нет, я не о том. Если по-моему, то половинка гостя прийти не может, потому что в данной системе нет половинок, а только целое. И яблоко одно на 2 не делится, по этой же причине, там, где делится уже другие числа. Что касательно гостя, то у него может быть гастрит и пониженный аппетит, без всяких некромантских ужасов:) Неужели надо воспринимать все буквально? Гость легко переходит во вполне абстрактную категорию мерок, его даже легче представить НЕ целым, в отличии от мерки. 06.03.2006 10:14:49, Иллика
6:12=1/2. У вашей половинки гостя не гастрит, а повышенный аппетит - ему 12 яблок нужно. Наверное, чтоб отрастить вторую половинку :) 06.03.2006 12:16:23, ох
Вы еще не запутались с количествами гостей и яблок? Я уже запуталась. Наверное, у вас яблоки мелкие, ранетки какие-то, а не яблоки, разве можно гостей такими угощать:) Наверное, мне никогда никому не объяснить про абстракции... Равно как и мне никто не объяснит доходчиво почему нельзя мерить гостями, яблоками, грушами, попугаями, удавами и мартышками:) А можно мерять МЕРКАМИ и только это ПРАВИЛЬНО:))))) 06.03.2006 12:32:58, Иллика
я не запуталась. А вот вы, говорите, уже запутались. И детей предлагаете запутать своими гостями?
РОСТ удава можно измерять РОСТОМ мартышки. Это однородные величины - рост и рост. Время и длина - неоднородные величины, время длиной непосредствено измерить не получится. Мерка должна быть универсальной и того же РОДА, что и измеряемая величина. А ваши гости подходят в качестве мерок для яблок только пока мы сидим в натуральных числах (а ноль - уже не натуральное). А что потом? В четвертом классе пойдут дроби - и что деткам сказать? Деточки, теперь забудем о гостях, это была неправильная мерка для яблок?
06.03.2006 12:46:14, ох
А вы понятия специально подменяете? Я же говорю, что запуталась с количествами.
Ой, все интереснее и интереснее:) А почему НЕЛЬЗЯ время измерять длиной и наоборот? Вот в физике формула есть, расстояние равно время умножить на скорость, как раз о том, что время и расстояние можно друг другом измерить. Непосредственно нельзя, а опосредованно можно.
То есть, вы против гостей, потому что это НЕ универсальная мерка? Потому что ими нельзя непосредственно измерить яблоки? А опосредованно? Мы яблоки не измеряем гостями, килограммами, кстати, а чем мы измеряем яблоки??? Какая мерка того же рода, что и яблоки? Специальной яблочной мне не попадалось:) Их еще можно объемом измерять:) А как получают универсальные мерки? Просто договариваются между собой и говорят "вот, килограмм, им мы измеряем вес" "вот сантиметр, им мы измеряем расстояние" И под крышку эталон сантиметра, чтобы не усох:) А чем был первоначально, до унирверсализации, килограмм? Может как раз столько яблок мог съесть за раз один гость? Это количество и определили и назвали "килограмм". :) Так произошло отчуждение абстрактной величины от конкретного гостя:) Можно фунтами измерять:) Примерно так, и ни о ком забывать не надо, все логично. Как счет универсален, а то получится, что кто-то умеет считать яблоки, но вот со счетом груш - проблемы :) Так и в этом примере с яблоками, мы их делим на три или на два или на пять, чего - все равно (гостей, автомобилей, ворон, ежиков - на части), да и яблоки ли это - тоже все равно (груши, женщины, автомобили - целое).
06.03.2006 13:43:33, Иллика
Опосредованно можно время измерить расстоянием. Точно так же опосредованно я предлагала яблоки измерить гостями, в качестве посредника - мерка в "два яблока".
ВЕС яблок можно измерить киллограммами. Объем яблок можно измерить литрами. Непосредственно. Но вот ВЕС яблок количеством гостей можно измерить только опосредованно.
Не подскажете ли, как вес измерить минутами?
06.03.2006 13:53:41, ох
Для чего? Нужно подумать, это очень интересно, для чего можно вес измерять минутами... и как это проделать... Может, при выплавке металла? Но там все равно должна быть величина вроде скорости, производная т.е. 06.03.2006 17:49:29, Иллика
для чего? А для того, чтоб показать, что опосредованные измерения могут быть очень сложными и запутанными. И не нужно измерять опосредованно в тех случаях. когда можно измерить непосредственно, однородной меркой. 06.03.2006 20:44:20, ох
Хммм... Вы случайно не учитель начальных классов? Я по-честному встаю на место второклашки и ничего не понимаю из этих объяснений. Только что, сказали надо - ученик ответил есть.
Что с того, что опосредованные измерения сложные и запутанные, измерять-то можно чем угодно, что угодно, мы же входим в мир абстракций и разнообразных числовых отношений, очень интересный мир. Не вижу смысла его ограничивать чем-то.
Конечно, наверняка я в чем-то ошибаюсь, просто мне интересно потрындеть на тему математики. :)
06.03.2006 22:15:05, Иллика
Вы просто учились по-другому, и мыслите по-другому:( Вставать на место ребенка при изучении математики, да и других предметов, непродуктивно, т.к. ребенок мыслит по-другому:) 06.03.2006 23:34:38, Psymama
Я просто задаю вопросы, на которые не получаю удовлетворяющих меня ответов:) От ребенка одно отличие - он считает ответы взрослых правильными, а я нет, далеко не все ответы считаю правильными хотя бы с точки зрения логики:) 07.03.2006 08:02:41, Иллика
Вы считаете, что только в этом отличаетесь от ребенка?
Тогда вам будет действительно трудно понять ход этой дискуссии и удовлетвориться полученными ответами :)))
07.03.2006 17:29:28, Psymama
Очень остроумно и по существу вопроса топика, не лучше ли поучиться молчать, когда нечего сказать? 07.03.2006 23:27:53, Иллика
Зря вы злитесь:)
Я по-сути переформулировала ваши же слова:)
08.03.2006 19:17:14, Psymama
ну зря Вы так. Можно встать на место ребенка и поучиться вместе с ребенком еще раз :) 06.03.2006 23:39:17, ох
Это совсем другая позиция, гораздо менее популярная. Обычно родитель встает на место ребенка, ничего не понимает, и делает вывод, что и ребенок не может этого понять. Т.е. критерием понимания-непонимания ребенка служит понимание-непонимание самого родителя. 06.03.2006 23:57:22, Psymama
ой, я никогда не была такой умной (и не буду уже) как в 5-6 классе. Честно! Больше чем тогда, у меня мозги уже, простите, не растягиваются под всякие идеи, а лет с 20 только ощутимо усыхают :( Поэтому жаль, что в меня тогда не напихали больше, хотя напихали изрядно :) 08.03.2006 18:46:28, Лёка_
нет, у меня просто дочка в 3 классе. Понимает все :) И во втором классе понимала :) 06.03.2006 22:44:39, ох
а у нуля сразу несколько математических смыслов. Ноль в каком-нибудь разряде числа как раз и имеет смысл "отсутствия" 05.03.2006 03:07:21, ох
Да, но это мы с вами понимаем. А надо объяснить детям. Ребенок от взрослого отличается тем, что еще формально-логическое мышление не сформировано. Он мыслит наглядно-образно. Поэтому многие программы основаны на наглядности. Но когда дело касается математики, тут много абстракций, и детям не понятно. Поэтому Давыдов очень долго думал, как преодолеть этот момент. Он поехал на физтех к Колмогорову, чтобы узнать, с чего начинается математика, другими словами, что является неделимой единицей в математике, так он вышел на понятие числа. Но числа - не количества предметов, как мы привыкли объяснять детям, а числа - отношения величин. Отсюда взялись и мерки.
Преимущество такого введения числа очевидно, т.к. сразу вводится по сути понятие действительного числа, понятие дроби и понятие бессмысленности деления на 0.
В этой универсальности и абстрактность.
А конкретику мы разбираем на примерах и частных случаях. В т.ч. в вашем примере с разрядом. Здесь понятие числа, в данном случае нуля, как бы наполняется смыслом, обрастает подробностями, обогащается. Абстракция - бедна, конкретика - богата, в т.ч. более эмоционально насыщена, в этом философский смысл теории Давыдова. Поэтому у него мы не спускаемся от абстрактного к конкретному, а восходим.
В школах, где этот принцип обучения реализован, дети действительно учатся мыслить иначе, причем качественно.
А то что понюхать-пощупать - ну так принцип наглядности никто не отменял, просто его иначе используют.
05.03.2006 05:06:17, Psymama
Да, это я с меркой предложила, как раз "по мотивам" учебника Давыдова. Но разве у него от абстрактного к конкретному??? Там ведь сначала все измеряют на совершенно конкретных предметах, рисуночки зарисовывают, все ощупывают, обнюхивают, и только потом записывают какие-то абстрактные формулы и цифры. 05.03.2006 03:05:21, ох
Как частный случай... Например, есть два числа какие-то А и В. А -любое число. В=А/0. Тогда В*0=А => получаем противоречие, А - не любое число. Значит, на ноль делить низзя :-) Умножение и деление - обратимые операции (так, по-моему, в школах дают эти понятия), а ноль необратим по умножению.

А понятия множества дети уже проходят? Бесконечности?
04.03.2006 20:12:07, Ирен_Адлер.
Моя версия. В комнате на столе 6 яблок,придут двое детей разделят их между собой -возьмут по 3, придут трое -по2, шестеро возьмут по одному.
А 0 - это значит никто не пришёл и ничего не делил -на кого делить? Они так и останутся лежать.
04.03.2006 15:17:26, мус
Не пойдет. Если никто не пришел и ни на что не разделил, значит, так и останется 6 яблок. Т.е. 6:0=6, что не верно. 04.03.2006 20:36:25, Psymama
А на мой взгляд, никто не делил потому что нельзя делить на 0 человек -так и останется 6.Только не 6:0,а просто 6,нельзя на 0 делить. 04.03.2006 21:34:21, мус
Пусть так. Но это не объяснит, почему нельзя делить на 0 в математическом смысле. 05.03.2006 01:58:54, Psymama
То есть в комнату, в которой нет яблок, зайти нельзя:) 04.03.2006 19:12:07, Mockingbird
Этого нет в условии задачи:) 05.03.2006 16:19:59, Иллика
Можно.Но Вы не ноль,а яблоки в числителе. 04.03.2006 19:23:57, мус
офф - а выших мальчиков и правда зовут Чук и Гек? по теме - если вам хочется с яблоками, то вы не можете берите одного человека, который делит яблоки на кучки. Если несколько человек делят яблоки, это уже получается разложение на множители вперемешку с комбинаторикой, и все это возможно, только после того, как разобрались с операцией деления. 04.03.2006 20:19:23, Mockingbird
Офф - А Вы сомневаетесь?
Хорошо,что у меня с математикой с детства плохо - проблем явно меньше. Хоть один он будет делить( для разных целей(только не пишите,что 2 он съест,3 возьмет на пирог,а 1 оставит другу),чтобы растянуть на неделю или ещё по каким то причинам),хоть всем классом -результат один -яблоки разделят.а вот на ноль кучек их не разделить.Если у Вас получится -может сфотографируете?
04.03.2006 21:42:42, мус
off скорее завидую:)
а у меня с математикой с детства хорошо:) и проблем тоже мало:) тьфу три раза:) сфотографировать абстрактную величину нельзя:) так что у меня не получится:) но вот если Чук или Гек будет заниматься например научным программированием, то он вам покажет, как это делается:) и объяснит, в каких случаях не обойтись без деления на ноль:)
04.03.2006 22:10:09, Mockingbird
Что-то мне это напоминает:) У меня мама - математик:) С пятого класса она мне не могла ничего внятно объяснить по предмету:) А может и раньше, но раньше я и не спрашивала:) 05.03.2006 16:24:57, Иллика
А-а-а. Именно поэтому просто математик - это не то. Математик еще должен быть педагогом. 08.03.2006 17:13:10, Красно Солнышко
На ноль можно делить, получается бесконечность:) только вы с детьми находитесь в множестве чисел, где бесконечность не живет:) так им и объясните:) Главное в математике - знать, где ты находишься:) 03.03.2006 23:37:23, Mockingbird
Либо бесконечность, либо неопределенность. 04.03.2006 20:01:23, Ирен_Адлер.
разве целых неотрицательных чисел не бесконечно много? 03.03.2006 23:44:33, ох
Их много:) но среди них ее нет:) и чем вам положительные не угодили - думаете, их меньше:) скажу по секрету - их ровно столько же, сколько и отрицательных:) и еще ноль:) который ни к тем, на к другим не относится:) 03.03.2006 23:57:06, Mockingbird
положительные мне не угодили тем, что в началке изучают натуральные и ноль - то есть все неотрицательные целые.
Так почему среди них нету бесконечности, разве их не бесконечно много?
04.03.2006 00:30:30, ох
Попробую так - множества бывают счетные и несчетные. Множество целых и даже рациональных чисел - счетное, т.е. все рациональные можно перенумеровать. Построить взаимнооднозначное соответствие с множнством натуральных чисел. Но все они одной природы - 5, 55555, 5555555555555555555555555. Сколько не увеличивай, бесконечность не получится:) 04.03.2006 01:37:57, Mockingbird
Я читала, что натуральный ряд бесконечен. В учебнике читала. У вас интересный ход мыслей:) По крайней мере, следуя вашей логике, трудно понять что такое бесконечность, просто невозможно:) 04.03.2006 07:09:36, Иллика
сообщение удалено модератором на основании пункта правил:
- спам, флуд, провокации, сообщения, носящие навязчивый характер
После 5-ти нарушений Вы будете переведены в режим чтения!
05.03.2006 19:42:06, Mockingbird
А почему нельзя, это такое тайное знание, доступное лишь учившимся на мех-мате? С логикой у меня все в порядке, училка по математике, правда, меня редко понимала, но вышивание у меня гораздо хуже выходит. Мы этим тоже занимаемся, в плане как раз математики и лепкой из глины - а это мешает истинно математическим размышлениям?
Кстати, что такое бесконечность все дошкольники нормально понимают и воспринимают, в чем проблема-то? Это древние греки мучались...
05.03.2006 22:54:59, Иллика
Да? Считается, что понять это невозможно. Да и вселенная наша конечна, как известно. 05.03.2006 23:17:53, Mockingbird
А дальше что? За границей вселенной? Дочку раздевала в саду, была свидетельницей беседы двух подготовишек, где-то с неделю назад: -Это бесконечно много... - А у меня больше все равно на одну! - Нет, я же сказал, бесконечно много, не может быть больше!, - Нет может, я еще одну прибавлю! так они и спорили, но не подрались:)
Самый простой пример бесконечности - движение по окружности, разве нет?
06.03.2006 12:21:26, Иллика
На каком топливе собираетесь двигаться по окружности бесконечно:) слово-то употребить легко:) а дальше что:) вон некоторые в корифеи записаны, а путаются:) 06.03.2006 20:24:35, Mockingbird
На вечном двигателе, вестимо:) У меня то на все вопросы ответы есть, а вы ни на один не ответили:) 06.03.2006 22:03:50, Иллика
Я не увидела ни одного от вас вопроса. да и зачем вам их задавать, если у вас есть вечный двигатель. Что вы тут делаете в таком случае, не очень понятно:) 07.03.2006 00:22:11, Mockingbird
А учебник был для какого класса? Ряд=то бесконечен, но бесконечность в него не входит:) в этом бесконечном ряду стоят натуральные числа, которые можно руками потрогать:) и ноль тоже не входит в натуральный ряд:) 04.03.2006 18:54:11, Mockingbird
Ни для какого, это я с малышкой занимаюсь, "Алиса в стране математики", непомнюавтора, на Г фамилиё, тут, кажется, тоже только начальную школу обсуждают, судя по названию конференции. А есть числовые ряды, в которые входит бесконечность? (для общего развития:как математик - нематематику) 05.03.2006 09:14:06, Иллика
Есть конечно. Ведь математика прикладная, в некотором смысле искусственная наука. Математики просто разграничили множества, в которые бесконечность входит, а в которые - нет. Для своего же удобства. 05.03.2006 17:23:50, Psymama
Во-первых, математика как раз относится к естественным наукам:) во-вторых прикладная математика - это отдельная область знаний:) 05.03.2006 19:39:39, Mockingbird
А что Вы вкладываете в понятие естественная? Если та, которая не гуманитарная, тогда да, конечно. А насчет прикладной, я имела в виду практическое значение математики, в т.ч. для школьников. Чистая математика им не к чему. 05.03.2006 20:19:53, Psymama
Однако изучают они именно "чистую" математику, а не прикладную. То есть пытаются изучать:) 05.03.2006 23:19:52, Mockingbird
Да уж. Вот вопрос-то весь и уперся в то, как ее надо преподносить второклашкам, с идей бесконечности, чтобы проникнуть в суть предмета, или как данность, набор аксиом, необходимых для решения определенных задач. 06.03.2006 03:32:23, Psymama
как сказал Винни-Пух "и то и другое и можно без хлеба". Как у Давыдова, не помните? Есть идея мерок, а не идея бесконечности. И один ребенок сам, уменьшая мерку, прийдет к идее бесконечности. Еще и другому попытается объяснить. А другой все-равно не прийдет, возьмет себе набор аксиом, задачи же надо всем решать :) 06.03.2006 12:49:44, ох
Идея Давыдова как раз в том, чтобы ребенок сам прошел путь первооткрывателя, например, идеи бесконечности, а не дача ему готовых знаний. 06.03.2006 21:57:02, Psymama
так я именно это и написала, разве нет? 06.03.2006 22:00:35, ох
Идея то в этом. Но реализации нет. 08.03.2006 17:16:27, Красно Солнышко
Да, а вы решили, я спорю? 06.03.2006 23:43:50, Psymama
Не нужно им ничего говорить про бесконечность:)во всяком случае необязательно:) а идею про аксиомы до них донести вполне можно. Самым настойчивым можно рассказать, что бывает много разных математик, в одной можно делить на ноль, а другой нельзя. Так же как бывают геометрии, в которых параллельные прямые пересекаются:) Идея о том, что можно еще долго шагать по жизни без умения делить на ноль вполне доступна уму 8-летнего ребенка, а вот сомнтительнын идеи про яблоки и бесконечные уменьшения ведерок могут сильно запутать мозги. 06.03.2006 04:35:42, Mockingbird
Согласилась бы с Вами, если бы не была знакома идеей формирования теоретического мышления младших школьников (как раз 8 лет) В.В.Давыдова. Ведь реализована она в 91 школе в Москве (в наиболее полном варианте) и в некоторых других школах. И дает неплохие результаты:) Т.е. дети в 8 лет вполне способны понять идею бесконечно малого и не только! Не все, но очень многие! Вы не знакомы с этой системой? Я к сожалению, не педагог, и методологических основ не знаю, больше сильна в философско-психологических, но тем не менее идея метода мне очень нравится:) 06.03.2006 21:54:12, Psymama
Я знакома. И педагог. И не разделяю ваших безудержных восторгов. И в данном споре во многом согласна с Mockingbird.
Не понимаю я зачем вводить искуственности в нормальном месте и зависать на этом! Не понимаю зачем из простого делать сложное.
08.03.2006 17:18:25, Красно Солнышко
как ты сама сказала (про олимпиадные задачи) "для формирования математического мышления" :) 08.03.2006 22:23:26, ох
Вот не вижу я формирования математического мышления.
Потому что идет тренаж.
И на моделях, искуственных, математике не свойственых.
И на задачах простых. В ЗБР нормально развитого ребенка не попадающих.
08.03.2006 22:53:25, Красно Солнышко
идет тренаж чего?
Ой, что-то я сегодня твоих постов никак понять не могу :(
08.03.2006 22:57:03, ох
Только сегодня? 08.03.2006 23:22:10, Красно Солнышко
сегодня особенно остро :)
Так тренаж чего?
08.03.2006 23:26:12, ох
Это неправильный вопрос. Задай правильный, я отвечу :) 08.03.2006 23:33:29, Красно Солнышко
ты написала "Потому что идет тренаж". Тренаж -тренировка. Тренировка чего именно? 08.03.2006 23:43:24, ох
Неа, вопрос неправильный :) 08.03.2006 23:49:39, Красно Солнышко
почему? 08.03.2006 23:55:18, ох
Это, подозреваю, тоже неправильный вопрос :-) 09.03.2006 00:00:49, Мария Д.
Ага :))) 09.03.2006 00:05:50, Красно Солнышко
:) 09.03.2006 00:05:08, ох
А никто и не предлагает преподавать математику только так. При обсуждении таких вопросов, как деление на 0, мне кажется более оправданным подход Давыдова, как более методологически проработанный, но вполне можно обойтись и без него.
Есть места, где эта методика вообще спорна. Хотя говорят, что это упирается в педагога. Но и этот момент делает эту методику узкоприменимой.
Мое положительное отношение к преподаванию математики таким образом обязано моим личным восприятием предмета, т.е. субъективно. Хотела ли, чтобы мои дети так учились? Да. Но если я пойму, что им это не подойдет, то не буду настаивать. Старшему, например, точно не подходит. Ну и что?
08.03.2006 21:32:43, Psymama
Я не против изучения теории пределов в любом классе:) Давыдов - это тот, который вместе с Эльконеным? Серьезно не знакома, но в принципе мне нравится. Только все же необходимо запомнить, что на ноль делить нельзя:) 07.03.2006 01:12:48, Mockingbird
А критерии понимания? Как определяют, этот понял, этот нет? 06.03.2006 22:04:58, Иллика
Я повторю, что плохо ориентируюсь в методологии, но видела урок по этой системе. Может быть это какой-нибудь показательный урок, но все же. Он проходил в такой форме диалога учителя с учениками, причем учитель формулирует вопросы и задания таким образом, чтобы спровоцировать мыслительный процесс у учеников. Даже неопытным взглядом видно, кто понимает, а кто нет. Безусловно, педагог должен быть специально обучен такому ведению урока. 06.03.2006 23:51:09, Psymama
у них есть "диагностические" контрольные работы. Например, найти А в выражении А*1=А. Или "какими могут быть А и В в выражении А:В=100.
Или "сколько прямоугольников с площадью 12 ты можешь построить" :)

06.03.2006 22:47:56, ох
В том, что идеи про яблоки и прочее сомнительны, вы не очень-то меня убедили. Возможно, дети проще верят нАслово. 06.03.2006 12:11:36, Иллика
Да, дети внушаемы. Фраза "Учительница так сказала!" считается у многих из них хорошим доказательством какого-нибудь утверждения :) 06.03.2006 12:58:50, ох
"В интернете так написано. Вот ссылка". Тоже хорошее доказательство :-) 08.03.2006 07:53:23, Мария Д.
Нет, про то, что в одном месте можно снимать штаны, а в другом нельзя, гораздо лучше:) не скромничайте:) 08.03.2006 10:23:02, Mockingbird
Давайте разделять сущности. Про штаны - метафора, а не доказательство. Есть ещё аксиомы (их может каждый себе прописать). Много сущностей есть. Из них в данной ветке обсуждается доказательство.

Штаны ОТЛИЧНЕЙШАЯ метафора для моих целей, которые состоят в побуждении людей к обсуждению данной темы. В высокой пригодности этой метафоры для этой цели можно убедиться статистически, посчитав число ссылок на неё в теме, а также померив длину темы. Скромность неуместна, "штаны" удались на славу :-) В копилку, так сказать.
08.03.2006 15:39:30, Мария Д.
Ссылка на текст "в интернете" тоже не доказательство. Так мы доказываем, что на ноль делить нельзя:) а я думала, мы пытаемся объяснить, что это аксиома:)
"Метафора" про штаны ужасная:) так же как и многие другие идеи, которые приходят в голову некоторым популяризаторам:)
08.03.2006 20:26:49, Mockingbird
Если хотите, я могу Вам помочь в Ваших целях. Мне бы помогла их формулировка. Одну я вычислила, вроде: обозначить границы НАИБОЛЕЕ ОБЩЕПРИНЯТОЙ аксиоматики (аксиоматик) на тему нулей и и деления. А именно, что в алгебре и арифметике на ноль делить нельзя никогда, а в теории пределов у функции 1/х нет предела в нуле. Можно поговорить про функции sin(x)/x в нуле, и вообще о том, у каких с нулевым пределом в знаменателе предел ЕСТЬ. Можно не говорить. Цели не понятны, но я своих уже достигла и теперь освободилась для помощи в чужих, могу помочь Вам, если хотите. В более сотрудническом стиле (для других целей нужен был несотруднический). 08.03.2006 22:06:56, Мария Д.
Даже не знаю, что Вам ответить:) Мне есть, с кем поговорить про пределы функций:) так что спасибо:) Сотрудничать с Вами, рукотворя математику, я не буду:) Мне очень не нравится Ваш сайт, и все, что Вы лепите про математику, если Вас как следует не одергивать. И я Вам про это уже говорила раньше:) Но Вы своих целей достигли, так что Вам это не важно:) А поговорили мы весело:) Спасибо:) 08.03.2006 22:49:24, Mockingbird
Я не помню Вас (раньше). Возможно, Вы сменили ник. Зачем Вы разговариваете со мной о математике, если Вам не интересны мои идеи? Вы хотите, чтоб я их не высказывала в этом пространстве? В этом цель?

Это можно устроить гораздо проще, прямой просьбой. При этом я в этой теме нахожусь в несколько щекотливой ситуации, будучи приглашённой консультантом конференции. Но решений много, технологических. Да, пожалуй, я смогу Вам помочь в этой цели :-) Теперь, когда она сформулирована. Например, я могу написать свои математические идеи в другом месте (чётко обозначенном, чтоб его можно было так же легко избегать, как моего сайта) и дать тем, кто их просит, ссылку туда. Так Вам лучше будет?
08.03.2006 23:51:29, Мария Д.
Я не разговаривала с Вами о математике, так, задавала некоторые вопросы:) Получила вполне удовлетворившие меня ответы:) 09.03.2006 00:49:10, Mockingbird
В этом треде, я имею в виду, было много Ваших ответов про математику и Ваших же вопросов про математику, под моими репликами. Я это назвала "разговором о математике". Если Вам не нравится, КАК я занимаюсь математикой, то в чём состоит цель этих Ваших со МНОЙ разговоров? Вот что я хочу понять. Эта цель в том, чтоб меня тут не было? Это можно, говорю, устроить, есть же легчайшие способы. Или цель таки поговорить о математике (со мной, потому что в мою сторону вопросы и ответы)? 09.03.2006 04:53:57, Мария Д.
Вот уж точно не это моя цель - чтобы Вас здесь не было:) Зачем мне это?Мы без Вас долго разговаривали, Вы не заметили? 09.03.2006 13:11:03, Mockingbird
A что Вы тогда хотите, в связи со мной? Ну, задавая мне вопросы и отвечая на мои реплики, чего хотите? Обсудить со мной математику?

Я не могу понять такое место. Сначала Вы много раз отвечаете на мои комментарии, поддерживая разговор со мной, о математике. Потом говорите, что Вам не нравится мой подход к математике вообще, во всех его проявлениях, доступных Вам в ощущениях (сайт и конференции). На этом месте я, ретроспективно, перестаю понимать смысл предыдущего обмена репликами. Всплывает классическое "мыши плакали, кололись", но я отгоняю эту гадкую мысль, и продолжаю искать другой, конструктивный смысл. Верю, что он в Ваших действиях есть; я сформулировала свою цель и рассказала её - почему я поддерживала разговор, несмотря на его, местами, странность. Чуть более конструктивная гипотеза - что эта конференция, для Вас, одно из немногих окон к взрослым занятиям, похожим на математику, и поэтому притягательно, независимо от состава участников; кто бы ни поддерживал разговор, хоть их идеи и не нравятся, но разговор важен своим существованием. Могу порекомендовать более профессиональные (в отношении математики) форумы; особенно на английском, есть по каждой области математики, есть по педагогике для разных уровней...

В общем, я знаю, что разговор тут был (и будет) без меня, но я не поняла Вашей цели общения именно со мной, когда я тут появилась.
09.03.2006 14:52:46, Мария Д.
Я вам не отвечала, насколько я помню, а комментировала ваши ответы. С целью показать, что они неверные:) Может, там и еще что-то было, но это основное. А что вас так напрягает? 09.03.2006 22:06:55, Mockingbird
Меня ничего не напрягает. То есть Ваша цель, в этом разговоре - показать, что мои утверждения не верны? Кому показать? 09.03.2006 22:51:46, Мария Д.
Ну вот, Вы уходите? А я как раз хотела Вам помочь показать, что мои ответы неверные. Это такая легкодостижимая цель! Надо только понять, кому именно показывать, и сразу бы я это показала... Но держать не буду, конечно, уходите. Удач! 10.03.2006 01:07:01, Мария Д.
Всего доброго Вам:) До свидания:) 09.03.2006 23:51:55, Mockingbird
Вот тут ты не права, имхо. 08.03.2006 23:24:29, Красно Солнышко
Я не могу себе представить, как человек, сказавший "мне не нравится", в принципе может быть не прав :-) 08.03.2006 23:52:41, Мария Д.
Например, формой сказанного. Сказать можно грубо, неуважительно и тому подобное :))) 09.03.2006 00:07:10, Красно Солнышко
На этом ресурсе можно не очень беспокоиться о том, чтобы не сказать грубо:) Будет грубо - сотрут:) 09.03.2006 00:45:58, Mockingbird
кого? :) 09.03.2006 00:51:24, ох
Метафора про штаны РАБОТАЕТ, в нужную мне сторону (горячего обсуждения). Это реальность, данная мне в ощущениях. Я достигла этой метафорой своей цели (обсуждения темы). Кто чем тут занимается, все разным, хехе... Мне моя метафора нравится тем, что достигает (моих, ещё раз подчеркну) целей. Вам она, возможно, не нравится тем, что Ваших целей достичь не помогает. Скорей всего, причина в том, что цели разные :-) Я не помогаю Вам достичь Ваших целей. Я достигаю свои цели. 08.03.2006 21:41:36, Мария Д.
У Паштета научилась да? 08.03.2006 22:54:34, Красно Солнышко
Или он у меня :-) А скорей всего, умения складывались независимо друг от друга, в похожих обстоятельствах. 08.03.2006 23:53:22, Мария Д.
А в результат софистика и ничего больше :( 09.03.2006 00:07:37, Красно Солнышко
Потому что целей нет, ну. Вот у Эллы есть цель: провести дополнительное занятие на тему нуля. У меня была (делегированная) цель ей в этом помочь, для чего я facilitate дискуссию на тему. А если целей нет, то происходит переливание из пустого в порожнее, с немалыми по дороге фрустрациями на аддиктивность формата этого самого пустого и, ещё более, порожнего. 09.03.2006 00:14:01, Мария Д.
Думаешь помогла Элле? 09.03.2006 00:17:36, Красно Солнышко
Элла сказала, цитирую, "Спасибо огромное!" Всем, кто откликнулся. См. выше критерии корректности :-) 09.03.2006 00:21:31, Мария Д.
Это она из природной вежливости и деликатности :))) 09.03.2006 00:29:54, Красно Солнышко
/в ужасе оглядываясь на модераторов/
Мы обсуждаем, причём консультанта! Ай!
09.03.2006 00:43:55, Мария Д.
Вряд ли кто-нибудь еще дочитает до этого места... 09.03.2006 00:52:22, Красно Солнышко
О! Я предлагаю опытным путем убедиться :)))
Заходишь в Excel и напибираешь формулу =А/В. Как только в стобике В у тебя 0, машина ругается - #дело!. Нельзяяяя :)))
08.03.2006 17:22:32, Красно Солнышко
Маш, реально именно в компьютере, если ты будешь заниматься в нем серьезными вещами, ты выйдешь на уровень, когда "программа" которую ты используешь. спросит тебя, в какой модели ты хочешь находиться - в той, в которой можно делить на ноль, или в той, в которой нельзя. И если ты видела, мой первый ответ был - на ноль делить можно:) `Но отнюдь не в пределах:) Функция 1/x разрывна в нуле, и никуда нам от этого не деться:) Можно говорить с детьми о предельных значениях, и как я уже говорила, возможно даже нужно до того, как вводить деление:) но там та же аксиоматика, не разрешающая делить 6 конфет на ноль частей:) И даже если ты сваришь из конфет суп, все равно ничего не получится:) 08.03.2006 20:23:56, Mockingbird
Это у(ю)мор у меня такой был. По поводу доказательств. 08.03.2006 21:24:46, Красно Солнышко
а с иррациональными числами что ли бесконечность получится? Тоже нет. Просто частное будет расти неограниченно при неограниченном уменьшении делителя, хоть в рациональных числах, хоть в иррациональных, тогда бесконечность вообще нигде не живет? 04.03.2006 03:09:51, ох
Вы хотите понять, что такое бесконечность:) или что? 04.03.2006 06:35:20, Mockingbird
нет. я хочу понять, почему вы написали "на ноль делить можно". Точнее - где в математике нужно находиться, чтоб можно было делить на ноль? 04.03.2006 12:58:29, ох
А можно я тоже?
у дочки в учебнике это объяснено так:
уравнение х*0=5
нельзя найти такой х, который при умножении на 0 дает 5.
хотя формально х тут нужно было бы искать как х=5:0.
И еще так (это и нарисовать можно и "пощупать"): Некую величину А измерим меркой В, получим С таких мерок в величине А.
А:В=С
Так вот, если мерка В у нас нулевая, то мы дооолго ею будем измерять величину А :) Бесконечно долго :)
03.03.2006 22:35:01, ох
если вы хотите объяснять это через уравнения, то тогда так если a*b=c, то существует ровно одно a=c/b . Если b=0, то а может быть любым, т.е. таких а бесконечно много:) не одно. Добавлеине нуля нарушает однозначность соответствия, обратимость деления и умножения. 04.03.2006 19:10:37, Mockingbird
не, в исходном посте просили объяснить это для ВТОРОГО класса. Идея была - измерить эту самую А, которая равна В*С. Скажем, объем ведра А измеряем меркой объемом В, получаем С таких мерок влазит в это ведро, А:В=С, считаем - сколько влезет туда стаканов, потом сколько наперстков (больше, чем стаканов), потом сколько пипеточек (еще больше), и так далее уменьшаем мерку. Когда наша мерка В уменьшается к нулю - нам понадобиться отмерить в наше ведро ну очень много (бесконечно много?) таких мерок. Собственно, это и получается неограниченный рост частного при уменьшении делителя. Но если наша мерка В - ровно ноль, то вообще ничего не получится отмерить. Так и будем сидеть вечно и бесконечно над ведром с нашей нулевой меркой. :)
Так вроде должно ыть понятно второклашкам, а про однозначность соответствия - не поймут....
ЗЫ: Но Вы мне так и не ответили - в множестве каких чисел можно делить на ноль? А то меня любопытство гложет, я махмат не заканчивала...
04.03.2006 19:49:57, ох
Я ответила, видимо не отправилось. Есть расширенная комплЕксная плоскость к которой добавлена комплЕксная же и бесконечность. С* называется, если не ошибаюсь. Есть задачи, которые невозможно решить, не вводя деление на ноль. Но маленьким детям на ноль делить не разрешают:) пока что:) Все впереди, видимо:) Например, единицу выкинули из простых чисел совсем недавно:) что-то еще будет:) То, что вы говорить про "увелечиние мерки в к нулю" вы тоже лезете не в то пространство. дети во втором классе находятся во множестве рациональных чисел - никаких приближений быть не может:) Взял одно число, поделил на другое. Один раз:) Получил один-единственный ответ. И это важно. 04.03.2006 20:15:47, Mockingbird
?
простое число — это натуральное число, имеющее ровно два натуральных делителя: 1 и само себя.
так что откуда ее выкинули - непонятно, любую таблицу простых чисел откройте, ряд начинается с 2
17.09.2006 20:18:42, ре-минор
когда недавно?не знала? 12.03.2006 18:13:23, Гэллор
ясно. понятно. А с второклашками что? Я просто показать бы им, какие очень-очень большие числа получаются при измерении величины очень-очень маленькой меркой. Почти бесконечность то есть :) Это ведь можно и в рациональных числах? Я подозраваю, что ответ "маленьким детям не разрешено делить на ноль" этим самым детям не понравится :) 04.03.2006 20:57:53, ох
Но этот ответ является единственно верным. И не потому, что при делении константы на бесконечно малую получается бесконечно большая:) а по определению операции деления. Хороший повод сказать детям, что математика - это игра по правилам:) особо желающим поделить на ноль можно порекомендовать продолжить изучение математики после окончания средней школы:) 04.03.2006 21:33:55, Mockingbird
а особо нетерпеливым - вместо средней школы :) 04.03.2006 23:58:58, ох
Да ради бога. Только вот здесь, в этом месте. Именно так. Игра по правилам. В области натуральных чисел такие правила. 08.03.2006 17:24:57, Красно Солнышко
Не только натуральных, Маша:) В любом пространстве, которое описывает физические процессы:) в котором мера - наше обычное расстояние:) в котором ползают черепахи и качаются маятники. И как потом им трудно будет понять, если вдруг придется, что можно очень конкретно посчитать, почему одна черепаха ползет ровно в пять раз быстрее, чем другая:) хотя обе ползут бесконечное время:) 08.03.2006 20:30:12, Mockingbird
Мы модель должны описать. Пока мы работаем в рамках вот такой модели. Дальше посмотрим. 08.03.2006 21:26:07, Красно Солнышко
про модель я не понимаю:) 08.03.2006 23:17:39, Mockingbird
Ну и черт с ним. Это много и долго надо писать и не только про математику, но еще и про педагогику и методику, а мне не хочется. 08.03.2006 23:24:03, Красно Солнышко
Маша, ты ли это:) 08.03.2006 23:45:36, Mockingbird
А что не так? :))) 09.03.2006 00:07:58, Красно Солнышко