"(с помощью ребенка, рожденного на территории ФРГ, можно остаться и самим здесь же)" - извините, но это не соответствует действительности. "С помощью ребенка" маме-иностранке можно остаться в ФРГ до 18-ти ребенкиныx лет только тогда, ЕСЛИ этот ребенок является "гражданином ФРГ по крови", т.е., второй родитель, официально признавший ребенка - гражданин ФРГ. Причем "на какой территории" родился ребенок - значения не имеет. Это Вы со Штатами перепутали.